El objetivo de este proyecto es impulsar cinco temas teóricos específicos dentro del área de la Convexidad, la Topología, la Combinatoria y la Geometría Discreta con la idea contribuir en el desarrollo de la matemática básica de primer nivel y fortalecer las aplicaciones de éstas en algoritmos de clasificación de datos, análisis topológico de datos, Inteligencia artificial y aprendizaje de máquina así como la coexistencia de especies en ecosistemas empíricos de la Biología
En concreto, estudiaremos los siguientes problemas, que han sido el origen de este proyecto:
Dentro de los temas teóricos estamos interesados en:
1. Ahondar en la idea de conjuntar la geometría convexa con la topología de grupos de Lie que ya dio resultados poderosos en la demostración de la Conjetura de Banach.
El estudiante de doctorado Valentín Jiménez de Santiago y el Dr. Montejano quieren estudiar aquellos convexos cuyas proyecciones son todas afinmente equivalentes. Sobretodo es importante tratar de aplicar las técnicas de fibraciones y las ideas de Gromov al caso de codimensión dos. Este trabajo, será parte de la tesis de Doctorado del Maestro Jiménez. Por otro lado el Dr. Castillo es experto en contar puntos enteros en los politopos que es la base de los polimatroides cuya herramienta fundamental es el polinomio de Ehrhart.
2. Formalizar la construcción de cuerpos convexos de ancho constante dada por Patrick Roberts y colaboradores que tienen una mirada muy original del problema con la idea de generalizarla en dimensión 4 esto en este tema estarán involucrados los doctores, Montejano, Oliveros y Arelio, aprovechando las habilidades del Dr. Arelio en visualización y computo.
3. Construcción de jaulas cúbicas ó gráficas cúbicas de cuello fijo y orden mínimo utilizando técnicas de voltaje, este tema se enmarca en la investigación sobre jaulas y gráficas extremales, este tema ha sido ampliamente estudiando por la Dra. Gabriela Araujo y su estudiante Flor Aguilar Campos y donde la doctora Oliveros contribuirá en su experiencia geométrica de encajes de gráficas.
4. Continuar la investigación relacionada con patrones de intersecciones llamados nervios de conjuntos de puntos, mas concretamente con generalizaciones del Teorema de Tverberg con nervios alterados esto se llevará acabo por los doctores Jesús De Loera, Déborah Oliveros y el estudiante de doctorado Antonio de Jesús Torres Hernandez y que tiene amplias aplicaciones en algoritmos de clasificación de datos, análisis topológico de datos la probabilidad, la estadística, la inteligencia artificial y el aprendizaje de máquina.
5. Aplicaciones de la topología algebraica a otras areas como la geometría discreta, Más aun, en colaboración con Marco Tulio Angulo queremos aplicar técnicas sofisticadas de Topología Algebraica al estudio de la coexistencia de especies en ecosistemas empíricos de la Biologia.
Todos los investigadores involucrados en este proyecto hemos trabajamos activamente desde hace tiempo, en la resolución de estos y otros problemas afines, Gracias al apoyo de PAPIIT desde tiempo atrás hemos realizado muchos de nuestros propósitos y hemos logrado además mantener estrechos lazos de investigación con diversos grupos, tanto nacionales como internacionales dedicados a esta área. Estamos convencidos que el apoyo que recibamos a través de este proyecto nos permitirá fortalecer dichos vínculos y nos permitirá el intercambio académico abriendo nuevas líneas de investigación y consolidando las ya existentes.
Es importante destacar que uno de los objetivos de este proyecto, es impulsar ampliamente la formación de recursos humanos en estas áreas de las matemáticas. Para esto, es necesario contar con una partida destinada únicamente a actividades realizadas por los estudiantes. Todos los investigadores involucrados este proyecto estamos interesados en llevar acabo un taller de Geometría Discreta, Convexidad y sus aplicaciones, para lo cual queremos invitar a un par de investigadores extranjeros de talla internacional y aprovechar además sus visitas para realizar con ellos trabajo de investigación. Más aún pretendemos realizar estancias de investigación tanto de investigadores extranjeros en México como de investigadores y estudiantes nacionales en el extranjero, además de difundir nuestros resultados en congresos tanto nacionales como internacionales.
El presente proyecto tendrá contribuciones desde el punto de vista teóricos y aplicados. Iniciaremos primero con dos contribuciones que están relacionadas con las aplicaciones de la Convexidad, la Topología y la Combinatoria:
La geometría Convexa se conoce por ser una valiosa herramienta para la fundamentación matemática de áreas como la ciencia de datos (ver [1] [2] y las referencias incluidas allí). Este proyecto pretende investigar nuevos métodos de aplicaciones de geometría convexa a la probabilidad, la estadística, la inteligencia artificial y el aprendizaje de máquina.
Por ejemplo es bien sabido que la regresión logística es un modelo no lineal de estadística multivariante y aprendizaje supervisado [7] así como la estadística de inferencia y clasificación para estos modelos se basa en la teoría de maximum likelihood estimation. Por definición un maximum likelihood estimation (MLE) es una función que maximiza y encuentra las condiciones de existencia, sin embargo en aprendizaje de maquina por ejemplo MLE no existe en todas las situaciones, hemos encontrado que el teorema de Tverberg por ejemplo puede ser utilizado aplicando estadística de interferencia de manera muy útil.
Con respecto al tema de la Coexistencia de especies y desde la perspectiva ecológica, la contribución central esperada de este proyecto es proporcionar el primer formalismo riguroso para identificar sistemáticamente casos contra-intuitivos de coexistencia de especies en un ecosistema. Desde una perspectiva matemática, la contribución central esperada del proyecto es la construcción de una nueva metodología para calcular eficientemente la homología de hipergráficas. A pesar de que existen algoritmos eficientes para calcular la homología de complejos simpliciales [6], enfatizamos que no existe una metodología que permita calcular eficientemente la homología de hipergráficas y en particular sus números de Betti.
En su conjunto, el proyecto combina la creación de nuevas matemáticas (i.e., calculo de la homologia de hipergráficas) con aplicaciones a resolver problemas fundamentales en ecología (i.e., permitiendo por primera vez caracterizar casos contra-intuitivos de coexistencia). Esta combinación nos permitirá identificar cuando un ecosistema es mas propenso a exhibir comportamientos de coexistencia contra intuitivos, abriendo la puerta a entender el papel que juegan las condiciones ambientales en el ensamblaje y desensamblase de ecosistemas.
Desde un punto de vista teórico estudiaremos los cuerpos de ancho constante en dimensión tres simétricos y sus extensiones en dimensiones altas.
Estudiaremos la existencia de las gráficas bipartitas como nérvios de conjuntos de puntos en espacios Euclidianos.
Estudiaremos las gráficas de intervalos como modelos de estudio de relaciones e interferencias con eventos que se sobreponen, en particular estudiaremos un nuevo modelo de graficas aleatorias que provienen de muestreos en eventos en la línea de tiempo, en particular trabajaremos con las gráficas aleatorias de intervalos que son árboles.
Continuaremos con el trabajo en construcción de gráficas cúbicas de cuello fijo y pocos vértices utilizando las técnicas de voltaje. Con este tema tenemos como objetivo construir alguna gráficas ya conocidas (que son jaulas, es decir alcanzan la cota mínima) y otras gráficas cúbicas con ciertas propiedades estructurales de simetría y para las que resulta interesante estudiar sus encajes en ciertas superficies.
Algunas de estas gráficas conservan propiedades combinatorias (son gráficas “arista-cuello-regulares”), es decir cada arista pertenece a un número fijo de ciclos de longitud el cuello (ver [9]) pero no propiedades geometrícas de simetría (no son arista transitivas). Estas características resultan interesantes al estudiar gráficas con cuello y diámetros fijos.
Lo anterior nos lleva de manera natural a estudiar el tema de los encajes de gráficas cúbicas que ha sido ampliamente estudiado en sobre todo en una familia especial de gráficas cúbicas, llamadas los “snarks”, y consisten en gráficas 3-regulares de cuello mayor que cinco e índice cromático 4. Este tema está relacionado con la conjetura de la doble cubierta en gráficas y que se relaciona naturalmente con las gráficas “arista-cuello-regulares”. En este tema estamos trabajando los encajes de ciertas gráficas cúbicas: snarks y gráficas de Petersen Generalizadas, que también han sido ampliamente estudiadas por Déborah Oliveros y Valentín Jiménez en [11].