El objetivo de este proyecto es hacer investigación original de frontera en análisis funcional, física cuántica y física de plasmas.
Específicamente, en teoría espectral y de dispersión, directa e inversa, para ecuaciones de Schroedinger matriciales, y en el estudio del amortiguamiento de Landau para las ecuaciones de Vlasov-Poisson, linearisadas alrededor de un estado de equilibrio no homogeneo. Se espera publicar los resultados en algunas de las mejores revistas internacionales arbitradas e indizadas, en los temas del proyecto. Se propone formar personal en los temas del
proyecto dirigiendo tesis de licenciatura y de doctorado. También se organizará eventos académicos en los temas del proyecto y se participará en eventos académicos, dictando ponencias en las que se presentará los resultados del proyecto.
1. Transformaciones de Darboux y desigualdades espectrales para ecuaciones de Schroedinger matriciales en el semi-eje con condiciones generales en la frontera.
Los operadores matriciales de Schroedinger en el semi-eje son un tema fundamental en la física-matemática de la mecánica cuántica. Son directamente relevante en mecánica cuántica para partículas con estructura interna, como espin, y en gráficas cuánticas, [20-26]. Partiendo de [21-26] se propone estudiar transformaciones de Darboux para estas ecuaciones. Las transformaciones de Darboux son de gran importancia porque permiten agregar y eliminar autovalores de operadores diferenciales. Se planea utilizar estas transformaciones de Darboux para demostrar desigualdades espectrales, como las desigualdades de Lieb-Thirring y de Schmincke. Las desigualdades espectrales son de gran importancia en teoría espectral y en física matemática, por ejemplo en problemas de estabilidad de la materia cuántica. En este proyecto participarán T. Aktosun, Universidad de Texas en Arlington, y R. Weder.
2. Teoría de dispersión directa e inversa para ecuaciones de Schroedinger matriciales no autoadjuntas en el eje real.
Partiendo de [21-26] se propone estudiar la teoría espectral directa e inversa de ecuaciones de Schroedinger matriciales en el eje real, no autoadjuntas. El caso no autoadjunto es de gran interés, por ejemplo en el estudio de problemas en física nuclear en los que fenómenos de captura de neutrones se modelan mediante un potencial no autoadjunto cuya parte imaginaria es no negativa (potenciales disipativos) . El caso no autoadjunto también es importante en mecánica estadística cuántica, para sistemas abiertos en los que el baño en que se encuentra la parte del sistema que se desea estudiar se modela mediante interacciones no autoadjuntos. En caso no autoadjunto también es importante en el estudio de ecuaciones no lineales integrables, mediante el método de dispersión inversa.
El caso no autoadjunto presenta problemas matemáticos nuevos. Por ejemplo la presencia de singularidades espectrales, y el hecho que el marco teórico en el caso no autoadjunto es más limitado que en el caso autoadjunto. En este proyecto participarán T. Aktosun, Universidad de Texas, Arlington, F. de Montis y C. van der Mee, de la Universidad de Cagliari, Italia, y R. Weder.
3. Teoría de dispersión directa e inversa para ecuaciones de Schroedinger matriciales con potenciales de rango largo. Partiendo de [21-26] se estudiará ecuaciones matriciales de Schroedinger en el semi-eje y en el eje real con potenciales de rango. Esto es con potenciales que tienden a cero muy despacio cuando la variable espacial tiende a infinito. Un ejemplo importante es el potencial de Coulomb en fisica cuantica.
El caso de rango largo presenta desafíos nuevos. Por ejemplo,
puede haber autovalores con energía positiva, esto es, sumergidos en el espectro continuo. Por otra parte, en el caso de rango largo no es apropiado hacer una teoría de perturbaciones alrededor del potencial zero y se requiere otro tipo de análisis. En este proyecto participarán T. Aktosun, el estudiante J.-M. López Sánchez y R. Weder.
4. Amortiguamiento de Landau.
Las ecuaciones de Vlasov -Poisson son de fundamental importancia en física de plasmas. En particular para plasmas de fusión. Actualmente existe una gran actividad matemática en temas relacionados con física de plasmas, en el contexto del proyecto ITER, www.iter.org, que es el proyecto científico y de ingeniería más importante a nivel mundial. En particular en las ecuaciones de Vlasov-Poisson-Ampère. Ver, por ejemplo, [27], [28], [29], [30], y las referencias que allí se cita. Un fenómeno de gran importancia en física de plasmas es el amortiguamiento de Landau para las ecuaciones de Vlasov-Poisson, que consiste en que el campo eléctrico tiende a cero para tiempos grandes, a pesar de la ausencia de disipación. Este fenómeno ha sido estudiado intensamente en el caso homogéneo lineal y en el caso homogéneo no lineal, cuando la no-linealidad es pequeña. Ver, por ejemplo [27]. Proponemos generalizar el estudio del amortiguamiento de Landau en otra dirección, esto es en el caso lineal no-homogéneo, y sin restricciones respecto al tamaño de la perturbación. Este caso es importante para plasmas de fusión y requiere la creación de nuevos métodos para su resolución. Se piensa introducir métodos de teoría espectral y de dispersión. En este tema trabajará R. Weder.